Nhận thấy rằng mọi điểm $(i,j)$ đều có thể được đi đến từ điểm $(i-1,j)$ hoặc $(i,j-1)$ nên để cập
nhật số nấm lớn nhất thu được khi đi đến vị trí $(i,j)$, ta sẽ chỉ cần lấy max của số nấm lớn nhất
thu được khi đi đến vị trí $(i-1,j)$ và $(i,j-1)$ rồi cộng thêm số nấm tại vị trí $(i,j)$
**Khởi tạo:**
- $dp[0][0]=a[0][0]$
- $dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i][0]$ ∀ $i$ thuộc $[1,n-1]$ (do để đi đến vị trí $(i,0)$ chỉ có thể đi từ bên trái sang)
- $dp[0][j]=dp[0][j-1]+a[0][j]$ ∀ $j$ thuộc $[1,n-1]$ (do để đi đến vị trí $(0,j)$ chỉ có thể đi từ bên trên xuống)
**Công thức chuyển trạng thái:**
- $dp[i][j] = max(dp[i][j-1]+a[i][j],dp[i-1][j]+a[i][j])$
**Kết quả:**
- $ans = dp[n-1][n-1]$
**Code (C++):**
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =1e3;
ll n;
ll a[N][N], dp[N][N];
int main(){
cin >> n;
for(ll i=0;i<n;++i){
for(ll j=0;j<n;++j) cin >> a[i][j];
}
dp[0][0]=a[0][0];
for(ll i=1;i<n;++i){
dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i][0];
}
for(ll j=1;j<n;++j){
dp[0][j]=dp[0][j-1]+a[0][j];
}
for(ll i=1;i<n;++i){
for(ll j=1;j<n;++j){
dp[i][j] = max(dp[i][j-1]+a[i][j],dp[i-1][j]+a[i][j]);
}
}
cout << dp[n-1][n-1] << endl;
return 0;
}
***Độ phức tạp: O(n²)***
Đây là bài quy hoạch động $2$ chiều.
Ở bài toán này ta đặt trạng thái dp là $f(i, j)$ lưu giá trị đường đi tối ưu đến ô $(i, j)$
Từ đó ta có thể xây dựng công thức dp là $f(i, j) = max(f(i - 1, j), f(i, j - 1)) + a[i][j]$
Đáp án của bài toán là $f(n, n)$
Độ phức tạp thời gian: $O(n^2)$
Độ phức tạp không gian: $O(n^2)$
Về phần cài đặt, ta có thể khởi tạo mảng $f[][]$ (lưu ý kiểu dữ liệu của mảng $f[][]$ phải là số nguyên __*64-bit*__) sau đó dùng $2$ vòng __*for*__ để duyệt qua và cập nhật các trạng thái, tuy nhiên ở đây mình xin giới thiệu cách cài đệ quy như trong code sau:
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int reading;
int n, a[1111][1111];
int i, j;
int64_t f[1111][1111];
signed main(){
if(!reading){
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n;
reading = 1;
i = j = 1;
main();
}
if(reading == 1){
cin >> a[i][j];
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j];
if(i == n && j == n){
cout << f[i][j];
reading = 2;
return 0;
}
if(j < n) ++j;
else ++i, j = 1;
main();
}
return 0;
}
```
zt09nguyenhoangnhatanh
Created at
7 likes